I denne artikel lærer du, hvordan du beregner arealet og omkredsen af en trekant.
Ordet område refererer til det område, der er optaget inden for grænsen af en geometrisk figur eller et fladt objekt. Normalt bruger vi kvadratiske enheder til at skildre arealet af et objekt. Standardenheden for areal er kvadratmeter (m^2). Vi kan finde arealer af alle de geometriske figurer som cirkler, firkanter, rektangler og trekanter osv. Til dette formål har vi specielle formler. I de næste par afsnit vil vi diskutere, hvordan man beregner arealer af forskellige typer trekanter.
Areal af en trekant
- Et område af en trekant er defineret som følger:
- Det samlede område, der er omsluttet af tre sider af en trekant, er kendt som et område af den trekant
- Dette område af en trekant er lig med halvdelen af produktet af base og højde af en trekant. Matematisk kan vi skrive formlen for arealet af en trekant sådan her:
Areal = brøk{1}{2} gange basis gange højde
Det betyder, at for at beregne arealet af en trekant, skal vi kende trekantens base og højde. Det skal huskes, at bunden og højden af en trekant er vinkelrette på hinanden. Nogle gange er højden af en trekant ukendt. For at finde arealet af en sådan trekant skal vi først kende højden. I disse situationer har vi forskellige formler til at beregne arealer af trekanten. Alle disse scenarier diskuteres nedenfor med eksempler.
Areal af en trekant, når højden er kendt
I dette afsnit vil vi se, hvordan man beregner arealet af en trekant med kendt højde.
Find arealet af følgende trekant:
I ovenstående trekant er trekantens højde og basis givet, så vi vil bruge den generelle formel for finde arealet af trekanten.
Areal = brøk{1}{2} gange basis gange højde
Areal = brøk{1}{2} gange 8 gange 6
Areal = 24 cm^2
Areal af en ligesidet trekant (højde ukendt)
Alle sider af en ligesidet trekant er lige store. Formlen til at beregne arealet af en ligesidet trekant er givet nedenfor:
Areal = frac{sqrt{3}} {4} l^2
Betragt f.eks. en ligesidet trekant under hvis måling af den ene side er angivet:
Vi vil erstatte 8 i ovenstående formel for at beregne arealet af en ligesidet trekant:
Areal = frac{sqrt{3}} { 4} (8)^2
Areal = frac{sqrt{3}} {4} 64
Ligebenet trekant er en trekant, hvis længde af to sider er lige store. Vi kan have en situation, hvor siderne af en ligebenet trekant er kendt, men højden er ukendt. I denne situation kan vi bruge følgende formel til at beregne arealet af en trekant:
Areal = frac{1}{2} [ sqrt{a^2 – frac{b^2}{4} ) gange b]
I ovenstående trekant er længderne af to sider lige store, derfor er det en ligebenet trekant. Vi kender ikke højden af trekanten, så vi vil bruge den ovenfor diskuterede formel til at beregne dens areal.
Areal = frac{1}{2} [ sqrt{a^2 – frac{b^ 2}{4}) gange b]
Areal = frac{1}{2} [ sqrt{12^2 – frac{6^2}{4}) gange 6]
Areal = 34,8569 m^2
Vi ved, at det kan være svært at huske alle ovenstående formler for ligesidede eller ligebenede. Når sider er kendt, og højden er ukendt, kan du blot bruge Herons formel, som er diskuteret nedenfor, til at beregne arealet af en trekant. Dette gælder for alle typer trekanter, uanset om de er ligesidede, ligebenede, retvinklede eller squalene.
Herons formel til at beregne arealet, når sider kun kendes
Vi kan også bruge hejrens formel til at beregne arealet af en trekant, når længden af tre sider er kendt. For at bruge denne formel bør vi kende omkredsen af en trekant, som refererer til den afstand, der er tilbagelagt omkring trekanten, og som beregnes ved at summere længden af alle tre sider af trekanten. Brug følgende trin til at beregne arealet ved hjælp af Herons formel:
I det første trin af processen skal du finde trekantens halvperimeter ved at summere de tre sider og dividere figuren med 2. Halvperimeter er blot halvdelen af omkredsen af en trekant.
I det andet trin skal du anvende værdien opnået i det første trin af trekanten i hovedformlen, der er kendt som Herons formel.
Herons formel til at beregne arealet af en trekant er givet nedenfor:
Areal = sqrt {s (s – a) (s – b) (s – c)}
Her er s halvperimeteren og en , b og c repræsenterer trekantens sider.
Overvej følgende eksempel:
Find arealet af følgende trekant:
Værdierne af siderne a, b og c er 12 cm, 9 cm og 8 cm. Først beregner vi halvperimeteren ved at erstatte disse værdier i nedenstående formel:
Halvomkreds = frac{a + b + c}{2}
Semiperimeter = frac {12 + 8 + 9 }{2}
Halvomkreds = frac{29}{2}
= 14,5 cm
Nu vil vi erstatte denne værdi af semi-perimeter i nedenstående formel for at finde arealet:
Areal = sqrt {s (s – a) (s – b) (s – c)}
Areal = sqrt { 14,5 (14,5 – 12) (14,5 – 9) (14,5 – 8)}
Areal = 35,991 cm^2
Overvej et andet eksempel nedenfor
Find areal af følgende trekant:
Værdierne af siderne a, b og c er 18 cm, 15 cm og 9 cm. Først beregner vi halvperimeteren ved at erstatte disse værdier i nedenstående formel:
Halvomkreds = frac{a + b + c}{2}
Semiperimeter = frac {18 + 15 + 9 }{2}
Halvomkreds = frac{42}{2}
= 21 cm
Nu vil vi erstatte denne værdi af semi-perimeter i nedenstående formel for at finde arealet:
Areal = sqrt {s (s – a) (s – b) (s – c )}
Areal = sqrt { 21 (21 – 18) (21 – 15) (21 – 9)}
Areal = sqrt {21 (3) (6) (12)}
Areal = 67,3498 cm ^2
Omkreds af en trekant
Omkredsen af enhver todimensionel figur refererer til en afstand omkring figuren. Vi kan beregne omkredsen af enhver lukket figur ved blot at opsummere længden af alle de tre sider. I dette afsnit lærer du, hvordan du beregner omkredsen af forskellige typer trekanter, når der er kendte længder.
Formel
- Formlen for at finde omkredsen af en trekant er angivet nedenfor:
- Omkreds = Summen af tre sider
- Standardenheden for omkreds er meter eller centimeter.
Følgende tabel viser formlen til at beregne siderne af tre typer trekanter:
Ligesidet trekant Ligebenet trekant Skalaen trekant
- Den viser at omkredsen af en ligesidet trekant er 3 gange dens længde
Omkredsen af en ligebenet trekant er summen af 2 gange længden af de lige sider og grundfladen - Omkredsen af skalatrekanten er lig med summen af længderne af alle tre sider af trekanten
Overvej følgende trekant, hvis længder af tre sider er angivet: - Længden af siderne er henholdsvis 12 cm 9 cm og 8 cm. For at beregne omkredsen skal du erstatte disse værdier i formlen nedenfor: